El pentàgon regular i les seves diagonals, que formen un pentalfa (o pentacle) amaguen unes quantes propietats relacionades amb la raó àuria. Alguns creuen que aquest podria ser un dels motius pels quals aquest símbol va ser l'escollit per Pitàgores per a la germandat que creà i presidí: els pitagòrics. Varis investigadors proposen que els pitagòrics van ser els primers en descobrir el nombre d’or. Aquests historiadors de les matemàtiques es pensaven que la preocupació pitagòrica pel pentagrama y el pentàgon, juntament amb el coneixement sobre geometria a mitjans del segle V a.C., va possibilitar que els pitagòrics , i en particular Hipàs de Metapont, descobrissin el nombre d’or. Certes raons ens porten a creure que possiblement si que en coneixien la seva existència.
Considerem un pentàgon regular en el qual s'han dibuixat les diagonals. En aquesta figura només apareixen tres angles diferents. Mesuren: 36º, 72º i 108º. La relació entre aquests angles és la següent: 72 és el doble de 36 i 108 és el triple de 36. Hi ha diversos tipus diferents de triangles isòsceles, dels quals seleccionem tres: els triangles ABE, ABF i AFG. La resta de triangles són semblants a algun d'aquests i no aporten informació addicional. Finalment, hi ha quatre segments diferents en aquests triangles : BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c i GF=d. Les longituds d'aquests segments compleixen: a>b>c>d.
Considerem cadascun d'aquest triangles per separat i apliquem el Teorema del Sinus :
TRIANGLE ABE :
TRIANGLE ABF:
TRIANGLE AFG :
Com que 72º=180º-108º , es verifica que sin72º= sin108º.
En conseqüència podem establir les següents proporcions:
És a dir, una vegada ordenades les longituds dels quatre segments de major a menor, la raó entre cadascuna d'elles i la següent és constant i igual al nostre nombre d'or.
Prenent la primera de les proporcions i tenint en compte que c = a-b i fent b = 1 :
Com a conseqüència, aquests dos segments consecutius compleixen la proporció àuria i es verifica que :
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada