El nombre d'or : propietats i curiositats

Algunes de les propietats més interessants del nombre d'or tenen a veure amb algunes expressions potencials de phi , com ara:

Les potències també compleixen la següent propietat:

Aplicant aquesta propietat, es poden escriure expressions on es pot observar la Successió de Fibonacci. Com a exemple:

Una altra de les seves propietats, també relacionada amb la successió de Fibonacci, és que el quocient entre termes consecutius d’aquesta successió, tendeix al nombre d’or.

Per demostrar-ho , plantegem :

Multiplicant per x l'expressió :

obtenim l'equació de segon grau:

que com podem comprovar fàcilment té com una de les seves solucions a Phi , el nombre d'or:

Com que es compleix que :

llavors podem representar Phi en forma de fracció contínua:

Com que , llavors fent l'arrel quadrada es pot representar Phi , també, com una iteració infinita d’arrels quadrades: