El nombre d’or i la successió de Fibonacci

La successió de Fibonacci – al·ludint al sobrenom de Leonardo de Pisa- té innumerables propietats matemàtiques, algunes d’elles associades al nombre d’or que procediré a explicar.

Considerem que la successió de Fibonacci és la següent :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Cada nombre a partir del tercer, s’obté sumant els dos que el precedeixen. Per exemple, 3 + 5 = 8 i seguidament, 5 + 8 = 13.
Calculem els primers catorze d’aquesta successió:

T1	T2	T3	T4	T5	T6	T7	T8	T9	T10	T11	T12	T13	T14
1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Propietats de la successió de Fibonacci:

1.-Si sumem els primers quatre termes i afegeixes 1, en resulta el sisè nombre (1 + 1 + 2 + 3 + 1 = 8). Si sumes els cinc primers i afegeixes 1, en resulta el setè (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13), i així successivament.

2.- Si sumem els productes de una sèrie de nombre Fibonacci successius, com ara, els tres productes (1 x 1) + (1 x 2) + (2 x 3), llavors la suma (1 + 2 + 6 = 9) serà igual al quadrat de l’últim nombre Fibonacci utilitzat en els productes (en aquest cas, 3^2 = 9). Si sumem el resultat de set productes, (1 x 1) + (1 x 2) + (2 x 3) + (3 x 5) + (5 x 8) + (8 x 13) + (13 x 21) = 441, la suma (441) serà igual al quadrat de l’últim nombre utilitzat (21^2 = 441). D’aquesta propietat en deduïm que qualsevol rectangle amb costats iguals a nombre Fibonacci successius encaixa amb gran precisió en un quadrat.

3.- Si sumem el tres primers termes que ocupen posició imparell (T1, T3, T5) surt el sisè nombre (T6), és a dir, (1 + 2 + 5 = 8). Com a conseqüència lògica si sumem els quatre primers termes que ocupen posició imparell surt el vuitè nombre (1 + 2 + 5 + 13 = 21).

4.- Si sumem els tres primers termes que ocupen posició parell (T2, T4, T6) i hi sumes 1, en resulta el setè terme (T7), (1 + 3 + 8 + 1 = 13). Si sumes els quatre primers termes que ocupen posició parell i hi sumes 1, en resulta el novè terme, (1 + 3 + 8 + 21 + 1 = 34).

N’hi ha d’infinites però la que més ens interessa és la següent:

Si dividim dos termes seguits de la successió de Fibonacci, el més gran entre el més petit, el que obtenim és:

1 : 1 = 1

2 : 1 = 2

3 : 2 = 1.5

5 : 3 = 1.6666666

8 : 5 = 1.6

13 : 8 = 1.625

21 :13 = 1.61538...

34 : 21 = 1.6190...

55 : 34 = 1.6176...

89 : 55 = 1.6181...

A mesura que agafem més termes de la successió i fem el seu quocient ens aproximem al nombre d’or. Per tant, quan més gran siguin els termes, més s’aproximaran els quocients a F.
Matemàticament ho deduïm de la següent manera: