Rectangles d'or

Dibuixem un quadrat de costat AB i busquem el punt mig de segment. L’unim amb un dels vèrtex del costat oposat i portem aquesta distancia sobre la prolongació d’AB traçant un arc de cercle, d’aquesta manera obtenim el punt C, i llavors AC queda dividit en secció àuria per B.

Si el costat del quadrat té el valor de dues unitats, el costat gran del rectangle és 1+(arrel quadrada de 5) com a conseqüència la proporció dels dos costats és Phi.

A partir d’aquest rectangle en podem construir altres semblants que s’han utilitzat en arquitectura (Partenó, piràmides egípcies) i el disseny (targes de crèdit, carnets, etc.). S’ha obtingut també un altre rectangle d’or, és a dir, el rectangle de base BC. Es tracen amb aquest sistema geomètric les espirals equitriangulars o logarítmiques. Aquestes espirals es poden trobar en moltes formes de la natura.

Una altra propietat important dels rectangles d’or és que quan es col·loquen dos rectangles iguals de la manera com indica la figura la diagonal AB pasa pel vèrtex C.

Llavors, situem els rectangles en uns eixos de cordenades amb origen en el punt A. Tenim que les coordenades dels tres punts seran:

Demostrarem que els vectors AB i AC són proporcionals i que la seva raó és Phi:

Per la segona component dels vectors , és evident, la proporcionalitat amb raó Phi .